ludi.de ∙ Platonische Körper

Platonische Körper sind vollkommen regelmäßige Körper, deren Oberflächen aus gleich großen, gleichseitigen und gleichwinkligen Vielecken bestehen. In jeder Ecke eines solchen Körpers stoßen zudem genau gleich viele Flächen zusammen. Mathematisch gesehen sind die Körper reguläre Polyeder (Vielflächner), also besonders regelmäßige konvexe Polyeder.

Kurz zur Technik: Die hier dargestellten Körper habe ich mit Hilfe einer KI in SVG und JavaScript realisiert. Aufgabe war es, eine optisch ansprechende dreidimensionale Darstellung sowie die Animation mit nativem JavaScript ohne die Einbindung externer Bibliotheken zu erreichen. Die platonischen Körper sind OpenSource und funktionieren als eigenständige SVG-Dateien mit eingebettetem JavaScript, um ihre Nutzung und die Weitergabe so einfach wie möglich zu machen.

Es gibt genau fünf platonische Körper:

Das Tetraeder (griechisch „tetráedron“ = Vierflächner) wird von vier regulären Dreiecken begrenzt. Die Flächen bilden sechs gleichlange Kanten und vier Ecken, in denen jeweils drei Dreiecke zusammentreffen. Das Tetraeder hat im Verhältnis zu seiner Oberfläche das kleinste Volumen und steht nach Platon für die Trockenheit oder das Feuer.

Farbe

Das Hexaeder (griechisch „hexáedron“ = Sechsflächner) wird von sechs Quadraten begrenzt. Die Flächen bilden zwölf gleichlange Kanten und acht Ecken, in denen jeweils drei Quadrate zusammentreffen. Das Hexaedron steht fest auf seiner Grundfläche und symbolisiert nach Platon die stabile Erde.

Farbe

Das Oktaeder (griechisch „oktáedron“ = Achtflächner) wird von acht gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Die Flächen bilden acht gleichlange Kanten und sechs Ecken, in denen jeweils vier Dreiecke zusammentreffen. Es kann frei rotieren, wenn es zwischen zwei gegenüber liegenden Ecken angefaßt wird, und steht für die Luft.

Farbe

Das Dodekaeder (griechisch „dodécáedron“ = Zwölfflächner) wird von zwölf regelmäßigen Fünfecken begrenzt. Die Flächen bilden dreißig gleichlange Kanten und zwanzig Ecken, in denen jeweils drei Fünfecke zusammentreffen. Es steht für das Universum, seine Flächen symbolisieren nach Platon die zwölf Tierkreiszeichen.

Farbe

Das Ikosaeder (griechisch „eikosáedron“ = Zwanzigflächner) wird von zwanzig gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Die Flächen bilden dreißig gleichlange Kanten und zwölf Ecken, in denen jeweils fünf Dreiecke zusammentreffen. Es hat im Verhältnis zu seiner Oberfläche das größte Volumen und steht nach Platon für die Feuchtigkeit oder das Wasser.

Farbe

Download

Diese Software steht unter der GNU General Public License (GPL), die das Recht, die Software auszuführen, zu studieren, zu ändern und zu verbreiten, beinhaltet.

Du kannst die platonischen Körper in eine HTML-Seite einbauen oder direkt in einem Browser anzeigen. Da bereits beim Download der gewählte Körper und die Farbe in eine SVG-Datei geschrieben werden, ist der Einsatz sehr einfach.


  <html>
    <body>
      <object data="platonic-solids.svg" type="image/svg+xml">
      </object>
    </body>
  </html>

Beachte bitte, daß das SVG über ein Object-Tag in HTML eingebunden wird. Das naheliegende Image-Tag funktioniert nicht, da hier die Ausführung von JavaScript aus Sicherheitsgründen blockiert ist.

Alternativ kannst Du das SVG auch über die optionalen Object-Attribute „geometry“, „color“, „ambient“ und „speed“ modifizieren. Dazu kannst Du jeden der fünf Körper als Vorlage nehmen, da sie bis auf die genannten Attribute identisch sind. Für nicht angegebene Attribute werden Standardwerte genommen.

Attribut	Bedeutung	Wertebereich	Standardwert
geometry	Körpergeometrie	"tetrahedron", "hexahedron", "octahedron", "dodecahedron" oder "icosahedron"	"tetrahedron"
color	Farbe des Körpers	Hexadezimaler RGB-Wert	"#ff2200"
ambient	Stärke der indirekten Beleuchtung	0.0 bis 1.0	0.5
speed	Rotationsgeschwindigkeit	0 bis 10 (0 bedeutet Stillstand)	5

<html> <body> <object data="platonic-solids.svg" type="image/svg+xml" geometry="dodecahedron" color="#61C685" ambient="0.5" speed="5"> </object> </body> </html>

gedruckte Körper

Da die platonischen Körper konvexe Körper sind und keine Einstülpungen oder Löcher haben, lassen sie sich einfach modellieren und drucken. Hier siehst Du sie als Baumschmuck für Weihnachten und Ostern, die im Inneren eine LED-Leuchte für Lampions aufnehmen können.

Die platonischen Körper gedruckt auf einem BambuLab A1 mit verschiedenen Filamenten. Die Körper sind zwischen 40 und 53 mm hoch und benötigen mit einer 0,4 mm Düse und einer Schichhöhe von 0,16 mm rund 60 Minuten pro Körper. Sie sind hohl und haben eine Aufnahmeöffnung für handelsübliche Lampion-LEDs bzw. eine Aufhängeöse. Für eine höhere Qualität der oberen Fläche nutze ich mit Ausnahme des Tetraeders Stützstrukuren im Innern der Körper, die mit einer Spitzzange oder Pinzette leicht entfernt werden können.

Zitronengelb (11400) BambuLab PLA Matte

Wähle eine Farbe bzw. ein Material

Die Druckdatei für alle fünf platonischen Körper mit den entsprechenden Druckeinstellungen findest Du in der Datei „platonic-solids.3mf“.

Und einen passenden Aufhänger in der Datei „platonic-solid-hook.stl“.

Beachte bitte, daß beide Dateien unter der Creative Commons NonCommercial License stehen und nur für den persönlichen Gebrauch bestimmt sind.

Geschichte

Die ältesten, von Menschen gemachten platonischen Körper sind über 4000 Jahre alt. Es sind in Steinkugeln gravierte Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder und Dodekaeder, die an verschiedenen Stellen in Schottland gefunden wurden. Etwa zeitgleich entstanden in Ägypten und Mittelamerika die ersten, auf dem Oktaeder basierenden Bauwerke, die Pyramiden.

Die mathematischen Gesetzmäßigkeiten der drei platonischen Körper Tetraeder, Hexaeder und Dodekaeder wurden erstmals vor rund 2500 Jahren von den Pythagoräern untersucht, einem von dem griechischen Philosophen Pythagoras von Samos (570 - 496 v.Chr.) gegründeten Bund, der sich der Erforschung der Mathematik, Astronomie, Ethik und Relgion widmete. Eine mathematische Beschreibung der verbliebenen zwei Körper, Oktaeder und Ikosaeder, sowie den Beweis, daß genau fünf platonische Körper existieren, erbrachte schießlich der griechische Mathematiker Theaitetos (415 - 396 v.Chr.).

Der griechische Philosoph Platon (428 - 348 v.Chr.) hat die Körper später in seinem Werk „Timaios“ ausführlich beschrieben und sie den Elementen des platonischen Weltbildes zugeordnet. Nach seiner Lehre besteht die Welt aus den vier Grundelementen Feuer, Wasser, Luft und Erde. Diese Grundelemente wiederum bestehen aus kleinen, unteilbaren Atomen, die nach Platon die Form der platonischen Körper haben. Vor Platon wurden die Körper als „pythagoreische Körper“ bezeichnet, heute sind sie unter dem Namen „platonische Körper“ oder „reguläre Polyeder“ bekannt.

Mit dem Ende der Antike gerieten die platonischen Körper für viele Jahrhunderte in Vergessenheit. Erst mit dem Ende des Mittelalters und dem Beginn der Renaissance tauchten die Körper wieder in Kunst und Wissenschaft auf. Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer verwandten die Körper in ihren Illustrationen und Johannes Kepler konstruierte 1596 ein Sonnensystem, das die Bahnen der sechs damals bekannten Planeten mit den In- und Umkugelradien der platonischen Körper beschrieb.

Mathematik

Für eine gegebene Kantenlänge $a$ gelten die folgenden Formeln für das Volumen, die Oberfläche, den Um- und den Inkugelradius der fünf Körper:

	Tetraeder	Hexaeder	Oktaeder	Dodekaeder	Ikosaeder
Kantenlänge	$a$	$a$	$a$	$a$	$a$
Volumen	$\frac{a^{2}}{12} \sqrt{2}$	$a^{3}$	$\frac{a^{2}}{3} \sqrt{2}$	$\frac{a^{3}}{4} (15 + 7 \sqrt{5})$	$\frac{5}{12} a^{3} (3 + \sqrt{5})$
Oberfäche	$a^{2} \sqrt{3}$	$6 a^{2}$	$2 a^{2} \sqrt{3}$	$3 a^{2} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}$	${5 a}^{2} \sqrt{3}$
Umkugelradius	$\frac{a}{4} \sqrt{6}$	$\frac{a}{2} \sqrt{3}$	$\frac{a}{2} \sqrt{2}$	$\frac{a}{4} \sqrt{3} (1 + \sqrt{5})$	$\frac{a}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$
Inkugelradius	$\frac{a}{12} \sqrt{6}$	$\frac{a}{2}$	$\frac{a}{6} \sqrt{6}$	$\frac{a}{2} \sqrt{\frac{25 + 11 \sqrt{5}}{10}}$	$\frac{a}{12} \sqrt{3} (3 + \sqrt{5})$
Gebe hier einen numerischen Wert für die Kantenlänge, das Volumen, die Oberfläche, den Um- oder den Inkugelradius ein. Die übrigen Werte werden dann berechnet.
Kantenlänge
Volumen
Oberfläche
Umkugelradius
Inkugelradius